Fungsi Matematika

FUNGSI

•         Fungsi adalah :

                        jenis khusus dari relasi

•         Fungsi f dari X ke Y adalah relasi dari X ke Y yang mempunyai sifat :

1.      Domain dari f adalah X

2.      Jika (x,y), (x,y)’ Î f, maka y = y’

•         Notasi :

                        f : X à Y

•         Domain dari f adalah X

Ä  Tiap komponen domain mempunyai pasangan (relasi)

•         Jika (x,y), (x,y)’ Î f, maka y = y’

Ä  Tiap komponen tidak boleh mempunyai 2 pasangan

Fungsi

  

Contoh

•         f = {(1,a),(2,b),(3,a)}

            X = {1,2,3}

            Y = {a,b,c}

                        f : X à Y        è fungsi

•         f = {(1,a),(2,b),(3,a)}

            X = {1,2,3,4}

            Y = {a,b,c}

                        f : X à Y        è bukan fungsi

•         f = {(1,a),(2,b),(3,c),(1,b)}

            X = {1,2,3}

            Y = {a,b,c}

                        f : X à Y        è bukan fungsi

Spesifikasi Fungsi

1. Himpunan pasangan terurut

Fungsi adalah relasi sedangkan relasi dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut

1. Formula pengisian nilai (assignment)

Asumsi daerah asal fungsi (domain) dan daerah hasil fungsi (range) fungsi : R maka himpunan pasangan terurut didefinisikan sebagai

                        f = { (x₁, x₂) | x Î R }

1. Kata-kata

Fungsi secara eksplisit dapat dinyatakan dalam rangkaian kata-kata

1. Kode program

Fungsi dispesifikasikan dalam bentuk kode program.

Jenis Fungsi

•         Fungsi satu-satu (one-to-one)

•         Fungsi pada (onto)

Koresponden Satu-satu atau Injektif

•         Fungsi f dari X ke Y dikatakan berkoresponden satu-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika untuk setiap y Î Y, terdapat paling banyak satu x Î X dengan f(x) = y

•         Contoh :

                        Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,a)}

                        dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c,d}

                        à koresponden bukan satu-satu

Dipetakan pada (Onto)

      •        Jika f adalah fungsi dari X ke Y dan daerah hasil dari f adalah Y, f dikatakan dipetakan pada (onto) 

            Y (atau suatu fungsi pada atau suatu fungsi surjektif)

•         Contoh :

                        Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,c)}

                        dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c}

                        à koresponden satu-satu dan dipetakan pada Y

Bijeksi (Bijection)

•         Sebuah fungsi yang baik satu-satu maupun pada disebut bijeksi (bijection)

•         Contoh :

                        Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,c)}

                        dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c}

                        à bijeksi

Operator Biner

•         Operator Biner pada himpunan X menggabungkan dengan setiap pasangan terurut dari anggota di X satu anggota di X

•         Fungsi dari X x X ke dalam X disebut operator biner pada X

•         Contoh :

X = {1,2,…}.  Jika didefinisikan :

                                    f(x,y) = x + y

Maka f merupakan operator biner pada X

Operator Uner (Unary Operator)

•         Operator uner pada himpunan X menggabungkan dengan anggota tunggal dari X satu anggota di X

•         Fungsi dari X ke dalam X disebut operator uner (unary operator) pada X

•         Contoh :

U merupakan himpunan semesta. Jika didefinisikan :

                                   

                        maka f adalah operator uner pada Ã(U)

Fungsi Inversi

•         Notasi : f^-1

•         Jika f adalah berkoresponden satu-satu dari A ke B maka dapat menemukan balikan atau inversi (invers) dari f

•         Fungsi yang berkoresponden satu-satu sering dinamakan fungsi yang invertible (dapat dibalikkan) karena dapat mendefinsikan fungsi balikkannya

•         Fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu karena fungsi balikkannya tidak ada

Contoh

•         Tentukan invers fungsi f(x) = x – 1

Jawaban :

f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-satu jadi balikkan fungsinya ada

f(x) = y à  y = x -1

Sehingga :

            x = y + 1

Invers fungsi balikkannya adalah :

            f^-1(y) = y + 1

•         Tentukan invers fungsi f(x) = x² + 1

Jawaban :

f(x) = x² + 1 à bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu sehingga fungsi inversinya tidak ada

Sehingga f(x) = x² + 1 adalah fungsi yang not invertible

Komposisi (Composition)

•         Misalkan g adalah sebuah fungsi dari X ke Y dan f fungsi dari Y ke Z. Jika diberikan x Î X

Ä  g untuk menentukan anggota unik y = g(x) Î Y

Ä  f untuk menentukan anggota unik z = f(y) = f(g(x)) Î Z

•         Notasi : (f o g)(a) = f(g(a))  à fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f

Contoh

•         Fungsi g = {(1,a),(2,a),(3,c)} memetakan X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c} dan fungsi f = {(a,y), (b,x), (c,z)} memetakan Y = { a,b,c} ke Z = { x,y,z} maka komposisi dari X ke Z adalah :

                                    f o g = {(1,y),(2,y),(3,z)}

Fungsi Khusus

•         Fungsi Floor dan Ceiling

•         Fungsi Modulo

•         Fungsi Faktorial

•         Fungsi Eksponen dan Logaritmik

Fungsi Floor (Batas bawah)

•         Batas bawah dari x adalah bilangan bulat terbesar yang kecil dari atau sama dengan x

•         Notasi :

                        ë û

•         Contoh :

                        ë8.3û = 8

                        ë-8.7û = -9

Fungsi Ceiling (Batas Atas)

•         Batas atas dari x adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x

•         Notasi :

                        é ù

•         Contoh :

                        é6ù = 6             é-11.3ù = -11

                        é9.1ù = 10                    é-8ù = -8

Fungsi Modulu

•         Jika x adalah bilangan bulat tak negatif dan y adalah bilangan bulat positif, didefinisikan x mod y sebagai sisa jika x dibagi y

•         Contoh :

F 6 mod 2 = 0

F 5 mod 1 = 0

F 8 mod 12 = 8

F 199673 mod 2 = 1

Fungsi Faktorial

•         Untuk sembarang bilangan bulat tidak negatif n

•         Dilambangkan dengan :

                                    n!

•         Didefinisikan sebagai :

                                   

•         Contoh :

            0! = 1

            1! = 1

            2! = 1x2 = 2x1 = 2

            3! = 1x2x3 = 3x2x1 = 6

            5! = 1x2x3x4x5 = 5x4x3x2x1 = 120

Fungsi Eksponensial

•         Fungsi eksponensial berbentuk :

                                                1                      , n = 0

                                    aⁿ =

                                                a x a x … x a, n > 0

                                                            n

•         Untuk kasus perpangkatan negatif :

•         Contoh :

•         4³ = 4 x 4 x 4 = 64

•         4^-3 = 1/64

Fungsi Logaritmik

•         Fungsi logaritmik berbentuk :

•         Contoh :

•         ⁴log 64 = 3 karena 64 = 4³

•         ë ²log 1000û = 9 karena 2⁹ = 512 tetapi 2¹⁰ = 1024

Fungsi Rekursif

•         Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri

•         Fungsi rekursif disusun oleh 2 bagian :

F Basis

Ä  Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri.

Ä  Bagian ini menghentikan definisi rekursif (dan memberikan sebuah nilai yang terdefinisi pada fungsi rekursif)

F Rekurens

Ä  Bagian yang mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri

Ä  Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis)

•        
Misalkan f(n) = n! maka fungsi faktorial dapat dituliskan sebagai :

•         Perhitungan n! secara rekursif :

•         Basis

n! = 1               jika n = 0

•         Rekurens

n! = n x (n-1)!  Jika n > 0

•         Contoh :

5! = 5 x 4!      (rekurens)

             4! = 4 x 3!

                          3! = 3 x 2!

                                                 2! = 2 x 1!

                                                             1! = 1 x 0!

                                                                      0! = 1

Sehingga :

            0! = 1

            1! = 1 x 0! = 1 x 1 = 1

            2! = 2 x 1! = 2 x 1 = 2

            3! = 3 x 2! = 3 x 2 = 6

            4! = 4 x 3! = 4 x 6 = 24

            5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120

Jadi 5! = 120

Contoh

•         Misalkan n menyatakan bilangan bulat positif dan fungsi f didefinisikan secara rekursif :

            Tentukan :

•         f(25)                           

•         f(10)

Penyelesaian :

•         f(25) = f(ë25/2û)+1 = f(12) + 1

                               = [f(ë12/2û)+1] + 1 = f(6) + 1 + 1 = f(6) + 2

                               = [f(ë6/2û)+1 ] + 2 = f(3) + 1 + 2 = f(3) + 3

                               = [f(ë3/2û)+1 ] + 3 = f(1) + 1 + 3 = f(1) + 4

                               = 0 + 4 = 4

•          f(10) = f(ë10/2û)+1 = f(5) + 1

                               = [f(ë5/2û)+1] + 1 = f(2) + 1 + 1 = f(2) + 2

                               = [f(ë2/2û)+1 ] + 2 = f(1) + 1 + 2 = f(1) + 3

                               = 0 + 3 = 3